2015年高考全国卷2理科数学试题及答案解析（word精校版）
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ）
（A）｛--1,0｝ （B）｛0,1｝（C）｛-1,0,1｝ （D）｛,0,，1，2｝
【答案】A
【解析】由已知得
，故，故选A（2）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（ ）
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2
【答案】B
（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( )
（A） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
（B） 2007年我国治理二氧化硫排放显现
（C） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
（D） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【答案】D
【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．
（4）等比数列｛an｝满足a1=3，
=21，则 ( )（A）21 （B）42 （C）63 （D）84
【答案】B
（5）设函数
,( )（A）3 （B）6 （C）9 （D）12
【答案】C
【解析】由已知得
，又，所以，故．（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
（A）
（B） （C） （D）【答案】D
【解析】由三视图得，在正方体
中，截去四面体，如图所示，，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为．（7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则
=（A）2
（B）8 （C）4 （D）10【答案】C
（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=
A.0 B.2 C.4 D.14
【答案】B
【解析】程序在执行过程中，
，的值依次为，；；；；；，此时程序结束，输出的值为2，故选B．
（9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为
A．36π B.64π C.144π D.256π
【答案】C
【解析】如图所示，当点C位于垂直于面
的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为
【答案】B
（11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，?ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为
（A）√5 （B）2 （C）√3 （D）√2
【答案】D
（12）设函数f’(x)是奇函数
的导函数，f（-1）=0，当时，，则使得成立的x的取值范围是（A）
（C）
【答案】A
【解析】
记函数
，则，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且．当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A．
二、填空题
（13）设向量
，不平行，向量与平行，则实数_________．【答案】
【解析】因为向量
与平行，所以，则所以．（14）若x，y满足约束条件
，则的最大值为____________．【答案】
（15）
的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．【答案】
【解析】由已知得
，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．（16）设
是数列的前n项和，且，，则________．【答案】
【解析】由已知得
，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．
三．解答题
（17）?ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，?ABD是?ADC面积的2倍。
(Ⅰ)求
;(Ⅱ) 若
=1，=求和的长.
(18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
满意度评分 | 低于70分 | 70分到89分 | 不低于90分 |
满意度等级 | 不满意 | 满意 | 非常满意 |
记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率
如图，长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（2）求直线AF与平面α所成的角的正弦值。
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C：
，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（2）若l过点
，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。
21．（本小题满分12分）
设函数
。（1）证明：
在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意
，都有，求m的取值范围。
22．（本小题满分10分）
选修4 - 1：几何证明选讲
如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与ΔABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点。
（1）证明：EF∥BC；
（2）若AG等于⊙O的半径，且
，求四边形EBCF的面积。
23．（本小题满分10分）
选修4 - 4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1：
（t为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：。（1）求C2与C3交点的直角坐标；
（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求
的最大值。
24．（本小题满分10分）
选修4 - 5：不等式选讲
设a，b，c，d均为正数，且a + b = c + d，证明：
（1）若ab > cd；则
；（2）
是的充要条件。
附：全部试题答案
